Происходил он из дворян Екатеринославской губернии. Начальное образование получил, как водилось тогда, дома, и в 1784 году, в возрасте 12 лет, был записан вахмистром в Таганрогский драгунский полк. Но настоящая служба его началась в Астраханском, а затем продолжилась в Тифлисском драгунском полке. Прошел он Русско-турецкую войну 1787-1792, участвовал во взятии крепости Анапы. Затем следом попал на Русско-польскую компанию 1792-1794 годы, где был в сражении при Мациовицах, штурмовал под началом Суворова Прагу, предместье Варшавы. С апреля 1796 году Папков – в Персидском походе и отличается при осаде и занятии Дербента, а также в других сражениях, дослуживаясь до капитанского звания. 3 августа 1800 года из рук императора Павла I он получает орденом Св. Иоанна Иерусалимского, а осенью того же года становится полковником. По воспоминаниям русского композитора и музыкального критика барона Б.А. Фитингофа-Шеля, внука Пётра Афанасьевича, в начале 1800-х годов он служит несколько лет в артиллерийском управлении под началом А.А. Аракчеева, а в 1806 г. возглавляет 14-ю артиллерийскую бригаду в чине бригадного командира. С нею он и принимает участие в войне с Наполеоном, славно сражаясь при Гутштадте, Гейльсберге и Фридланде, за что получает прусский орден «Pour le Mérite».
В декабре 1807 г. увольняется от службы в отставку с награждением генерал-майорским чином. С 1808 по 1810 год Пётр Афанасьевич вновь на государевой службе. В этот раз это пост санкт-петербургского обер-полицмейстера, где он также отличается и при увольнении награждается орденом Георгия III степени.
31 января 1810 года Папков принимает пост Таганрогского, Ростовского, Нахичеванского и Мариупольского градоначальника, главного попечителя купеческого судоходства по Азовскому морю и начальника Таганрогского таможенного округа, навсегда войдя в историю Приазовья. Вскоре после его вступления в должность на побережье Черного моря обрушивается чума. Опасаясь ее скорого появления в Таганроге и других подвластных ему городах, Пётр Афанасьевич воспрещает заход всех судов в Азовское море через Керченский пролив, не испросив даже на то дозволения высших властей. Что, впрочем, было свойственно Пётру Афанасьевичу, памятуя его драгунское прошлое. И результаты впечатляют – от Приазовья было отведена страшная чума 1812 года, натворившая немало бед в других южнорусских регионах империи. Но это решение имеет и другие последствия – из-за затянувшегося карантина Таганрог начинает терять свое значение как торгового города, уступая первенство Одессе, вечной своей конкурентке. Одесское купечество и чиновничество активно продвигает идею о навечном затворении Таганрога в берегах лишь Азовского моря, перекрыв проход в Керчи, оставляя себе роль посредников при торговле хлебом.
Такая политика приводит к тому, что к 1815 году европейские цены на хлеб безудержно растут, а Одесса и Феодосия не справляются с нахлынувшими иностранными судами, из-за чего многие уходят пустыми. И снова Пётр Афанасьевич проявляет себя как истинный патриот города. Оставив пустые многомесячные хлопоты о разрешении свободного плавания по Азовскому морю, он самовольно распоряжается открыть Керченский пролив. И через год, благодаря хлынувшим в порт за хлебом судам, Таганрог заметно оживает. Тут-то воодушевленный градоначальник и берется за обустройство вверенного ему города и реконструкцию Таганрогской гавани. Правда, в делах ему часто вредит его всегдашняя грубость с подчиненными, что вскоре плодит ему массу влиятельных врагов и недоброжелателей, особенно в среде греческого магистрата и купечества, неохотно расстающегося с давними торговыми преференциями. Все это, а также нарушения по финансовой части, впрочем вполне обычными, для того времени, и послужило поводом для создания сенатской ревизии градоначальства, которая выявляет упущения и недостатки, за что Пётр Афанасьевич Папков и покидает пост. Карьера его закатилась, в этот раз уже навсегда.В отставке он селится в своем имении – селе Красный Кут Славяносербского уезда Екатеринославской губернии, купленном еще в 1812 году у П. И. Штерича (1250 душ крепостных крестьян, 7 тыс. десятин земли), с головой уйдя в разведение тонкорунных овец и ангорских коз. Да так, что становится членом Главного Московского общества улучшения овцеводства. Из-под его пера выходит ряд научных статей по проблемам овцеводства в «Журнале овцеводства»: «О стаде тонкошерстных овец» (1833), «Об ангорских козах» (1833) и «О продаже ангорских коз» (1839).
Кстати, не чужд был Пётр Афанасьевич и промышленного производства – благодаря его стараниям в имении было налажено изготовление сукна на построенной им фабрике.
Дом его после отъезда из Таганрога, становится доходным. С 1847 по 1856 год в нем квартирует будущая мать А.П. Чехова, Евгения Яковлевна Морозова. Ей не было еще 12 лет, когда умирает ее отец, Яков Герасимович Морозов, «комиссионер по суконной части» отставного градоначальника, и она вместе с матерью и сестрой переезжает из Шуи в Таганрог, где им и помогает устроиться Пётр Афанасьевич.
Проживал в этом доме одно время, в 1854-55 гг., после свадьбы с Евгенией Яковлевной и отец писателя, Павел Егорович Чехов. Может и потому еще, кроме архитектурного сходства, написанный Антоном Павловичем рассказ «Дом с мезонином», связывают с домом градоначальника. В 1853 году, когда хозяин дома уходит в мир иной, тот по наследству достается племяннице Пётра Афанасьевича баронессе Фитингоф, а уже ею продается помещику Миусского округа Области Войска Донского генерал-майору Александру Гавриловичу Реми (1809-1871), личности столь же незаурядной, что и градоначальник, и оставившей заметный след в жизни Таганрога и Дона.
